d = 2R = 1
محيط n ضلعي منتظم محيطي	محيط n ضلعي منتظم محاطي	n
4641 / 3	3	6
2154 / 3	1058 / 3	12
1596 / 3	1326 / 3	24
1460 / 3	1393 / 3	48
1416 / 3	1414 / 3	96

 

بطلميوس و روش وترها
حدود 150 سال بعد از ميلاد اولين مقدار قابل توجه براي p بعد از ارشميدس به وسيله بطلميوس اسكندراني در اثر معروفش Syntaxis Mathematica - كه به عربي «المجسطي» معروف و بزرگترين اثر يونان قديم درباره نجوم است- داده شده است. در اين اثر عدد p در دستگاه شصت گاني به صورت ("30 8 3) آمده است.

اين مقدار بدون ترديد از جدول وترها كه در رساله ظاهر مي‌شود، استخراج شده است. در اين جدول طول وترهاي يك دايره كه مقابل به زاويه مركزي يك درجه قرار دارند محاسبه شده است. ملاحظه مي‌كنيد كه طول وتر AB تقريباً با طول كمان AB مساوي است.

حدود سال 480 ميلادي تسوچونك‌چي (Tsu chung-chi) از اولين دانشمندان چيني كه در مكانيك كار مي‌كردند تقريب گوياي سيصد و پنجاه و پنج يكصد و سيزدهم را براي p بدست آوردد كه تا 6 رقم اعشار صحيح و برابر ... 1415929 / 3 است.

محمدبن موسي خوارزمي درباره محاسبه اندازه محيط دايره چنين مي‌گويد:



بررسي كار كاشاني براي محاسبه p
رياضيدان بزرگ ايراني غياث‌الدين جمشيد كاشاني در مفتاح‌الحساب چنين مي‌نويسد:
«مقداري را كه در رساله محيطيه براي نسبت محيط دايره به قطر آن به دست آورده‌ام، اين است:
 

درجه	دقيقه	ثانيه	ثالثه
ج	ح	كط	مده

اين جدول به اين شكل گويا نيست و به رمز بيشتر شباهت دارد. رمزي كه بايد به كمك «حساب  ابجد» و عدد نويسي در مبناي شصت‌گاني گشوده شود. نتيجه اين خواهد شد:

لازم به ذكر است كه از رياضيدان‌هاي ايراني، دقيق‌ترين محاسبه  p متعلق به كاشاني است كه در اواخر قرن چهاردهم و اوايل قرن پانزدهم ميلادي مي‌زيسته است. كاشاني با استفاده از روش كلاسيك ارشميدس و با استفاده از ضلعي‌هاي منتظم محاطي و محيطي مقدار زير را براي p به دست آورده است:

در سال 1579 ميلادي «ويت» رياضيدان بزرگ فرانسوي مقدار p را به روش كلاسيك با استفاده از ضلعي منتظم محاطي و محيطي تا 9 رقم اعشار پيدا كرد. وي همچنين را به عنوان  p برگزيد.
در سال 1650 ميلادي جان واليس بسط جالب زير را براي عدد p عرضه كرد:

در سال 1671 ميلادي جيمز گريگوري رياضيدان اسكاتلندي سري نامتناهي زير را به دست آورد:

آنچه گريگوري به آن توجه نكرد و «لايپ‌نيتز» در سال 1674 آن را مي‌دانست اين حقيقت است كه به ازاي 1=x داريم:

توجه كنيد كه اين سري خيلي كند همگرا مي‌شود. مثلاً براي اينكه p را تا 6 رقم اعشار به دست آوريم بايد دو ميليون جمله آن را انتخاب كنيم.

در سال 1767 «يوهان هايزش لامبرت» نشان داد كه عدد p گنگ است.

غير جبري بودن عدد p
به راستي  چرا نمي‌توانيم پاره‌خطي به اندازه محيط دايره رسم كنيم؟ آيا اين موضوع به گنگ بودن عدد p مربوط است؟ ما مي‌توانيم بسياري از اعداد گنگ نظير و ... را  بسازيم. لاينحل بودن مسئله تربيع دايره تنها به اين مربوط نيست كه  p گنگ است و بلكه به خصوصيت ديگري از اين عدد مربوط مي‌شود. اين ويژگي اين است كه p غير جبري است يعني نمي‌تواند ريشه يك معادله جبري به صورت زير كه در آن ai ها گويا هستند باشد:

ماهيت: «خرد و بينش و آگاهي دانشمندان ، ره سر منزل مقصود ترا آموزد.»
«يادآور=mnemonic» خوبي است براي آنكه تا ده رقم اعشار  p را به خاطر بسپاريم
...   5=آگاهي    1=و      4=بينش      1=و       3=خرد
در پايان اين سوال مطرح مي‌شود كه به چند رقم اعشار p نياز داريم؟ رشته سخن را به Simon Newcomb اخترشناس آمريكايي مي‌دهيم:
«... ده رقم اعشار p كافي است تا محيط زمين را تا يك اينچ تقريب به ما بدهد و سي رقم اعشار، محيط تمام عالم قابل رؤيت را با تقريبي كه براي نيرومندترين تلسكوپ‌ها غير قابل تشخيص است فراهم مي‌آورد.» اينها نمونه‌هايي بود از تلاش باغبانان هميشه سرفراز گلزار انديشه و ادب. بزرگاني كه در آرزوي رسيدن به گلهايي ويژه (سه مسئله مشهور يونان) عمري كوشيدند، هرچند به آن گلها راه نيافتند ولي در عوض با دامني پر از ريحان و كشف گلهايي زيباتر زندگي انسان را با عطر دل‌انگيز دست‌آوردهايشان معطر ساختند. نامشان جاودانه باد.

 

 استفاده از عدد پي در ساخت تخت جمشيد
مهندسان هخامنشي راز استفاده از عدد پي را دو هزار و پانصد سال پيش كشف كرده بودند. آنها در ساخت سازه هاي سنگي و ستون هاي مجموعه تخت جمشيد كه داراي اشكال مخروطي است، از اين عدد استفاده مي كردند.
عدد پي در علم رياضيات از مجموعه اعداد گنگ محسوب مي شود. اين عدد از تقسيم محيط دايره بر قطر آن به دست مي آيد. كشف عدد پي جزو مهمترين كشفيات در رياضيات است. كارشناسان رياضي هنوز نتوانسته اند زمان مشخصي براي شروع استفاده از اين عدد پيش بيني كنند. عده زيادي، مصريان و برخي ديگر، يونانيان باستان را كاشفان اين عدد مي دانستند اما بررسي هاي جديد نشان مي دهد هخامنشيان هم با اين عدد آشنا بودند.
«عبدالعظيم شاه كرمي» متخصص سازه و ژئوفيزيك و مسئول بررسي هاي مهندسي در مجموعه تخت جمشيد در اين باره،‌ گفت: «بررسي هاي كارشناسي كه روي سازه هاي تخت جمشيد به ويژه روي ستون هاي تخت جمشيد و اشكال مخروطي انجام گرفته؛ نشان مي دهد كه هخامنشيان دو هزار و پانصد سال پيش از دانشمندان رياضي دان استفاده مي كردند كه به خوبي با رياضيات محض و مهندسي آشنا بودند. آنان براي ساخت حجم هاي مخروطي راز عدد پي را شناسايي كرده بودند.»
دقت و ظرافت در ساخت ستون هاي دايره اي تخت جمشيد نشان مي دهد كه مهندسان اين سازه عدد پي را تا چندين رقم اعشار محاسبه كرده بودند. شاه كرمي در اين باره گفت: «مهندسان هخامنشي ابتدا مقاطع دايره اي را به چند ين بخش مساوي تقسيم مي كردند. سپس در داخل هر قسمت تقسيم شده، هلالي معكوس را رسم مي كردند. اين كار آنها را قادر مي ساخت كه مقاطع بسيار دقيق ستون هاي دايره اي را به دست بياورند. محاسبات اخير، مهندسان سازه تخت جمشيد را در محاسبه ارتفاع ستون ها، نحوه ساخت آنها،‌ فشاري كه بايد ستون ها تحمل كنند و توزيع تنش در مقاطع ستون ها ياري مي كرد. اين مهندسان براي به دست آوردن مقاطع دقيق ستون ها مجبور بودند عدد پي را تا چند رقم اعشار محاسبه كنند.»
هم اكنون دانشمندان در بزرگ ترين مراكز علمي و مهندسي جهان چون «ناسا» براي ساخت فضاپيماها و استفاده از اشكال مخروطي توانسته اند عدد پي را تا چند صد رقم اعشار حساب كنند. بر اساس متون تاريخ و رياضيات نخستين كسي كه توانست به طور دقيق عدد پي را محاسبه كند، «غياث الدين جمشيد كاشاني» بود. اين دانشمند اسلامي عدد پي را تا چند رقم اعشاري محاسبه كرد. پس از او دانشمنداني چون پاسكال به محاسبه دقيق تر اين عدد پرداختند. هم اكنون دانشمندان با استفاده از رايانه هاي بسيار پيشرفته به محاسبه اين عدد مي پردازند.
شاه كرمي با اشاره به اين موضوع كه در بخش هاي مختلف سازه تخت جمشيد، مقاطع مخروطي شامل دايره، بيضي، و سهمي ديده مي شود، گفت: «به دست آوردن مساحت، محيط و ساخت سازه هايي با اين اشكال هندسي بدون شناسايي راز عدد پي و طرز استفاده از آن غيرممكن است.»
داريوش هخامنشي بنيان گذار تخت جمشيد در سال 521 پيش از ميلاد دستور ساخت تخت جمشيد را مي دهد و تا سال 486 بسياري از بناهاي تخت جمشيد را طرح ريزي يا بنيان گذاري مي كند. اين مجموعه باستاني شامل حصارها، كاخ ها،‌ بخش هاي خدماتي و مسكوني، نظام هاي مختلف آبرساني و بخش هاي مختلف ديگري است.

مسئله سوزن بوفن
احتمالا تعجب کنید اگر بشنوید که با سوزن میتوانید عدد مشهور p را حساب کنید. این مسئله را شخصی بنام بوفن حل کرد و به مسئله سوزن بوفن مشهور است. قضیه از این قرار است که سوزنی را انتخاب میکنید و صفحه خط کشی شده را در نظر میگیرید بطوریکه فاصله بین خطوط از طول سوزن بیشتر باشد. حال اگر سوزن را پرتاب کنیم، با چه احتمالی خط را قطع میکند؟ با محاسبه این احتمال عدد پی ظاهر میشود که از این ترفند میتوان برای محاسبه عدد پی استفاده کرد شما میتوانید برای دیدن این مسئله به بازی گرافیکی ارائه شده در سایت زیر مراجعه کنید
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/buffon.html

طول سوزن را "L" و فاصله بین خطوط را "D" در نظر بگیرید متغیر تصادفی "Y" را کوتاهترین فاصله ته سوزن تا یکی از خطوط موازی در نظر میگیریم و X را زاویه بین خط و سوزن در نظر بگیرید به شکل ها توجه کنید

با توجه به افتادن تصادفی سوزن خواهیم داشت

0 < Y.D
0

واضح است که محل افتادن سوزن و زاویه آن مستقل از هم میباشند. شما میتوانید به برنامه جاوا موجود در لینک زیر مراجعه کنید تا نحوه نموداری که قرار است تا بوسلیه آن احتمال را محاسبه کنیم را ببینید اhttp://whistleralley.com/java/buffon_graph.htm

مستطيل آبی ناحیه ای را نشان میدهد که ته سوزن و زاویه آن با خط میتوانند داخل آن قرار بگیرند. این متغيرهای تصادفی در زیر آمده اند
(Y , X)
 بالای سوزن به اندازه زیر از پایین آن بالا تر قرار گرفته است
L sinX

در صورتی سوزن خط را قطع میکند که اندازه فوق برابر "Y " شود یا اینکه موقعیت "Y" و "X" زیر منحنی فوق قرار بگیرد همانطور که در شکل نشان داده شده است ناحیه زرد جایی را که سوزن خط را قطع میکند نشان میدهد پس احتمال مورد نظر ما از تقسیم مساحت زرد بر کل مساحت مستطیل بدست می آید خواهیم داشت

محاسبه فوق به سادگی به دست میآید
چگونه عدد "p" را حساب کنیم؟
برای محاسبه عدد پی باید شما زحمت بکشید و چندین بار سوزن را پرتاب کنید مثلا "n " دفعه بعد تعداد دفعاتی که سوزن خط را قطع میکند را "m" بنامید پس خواهید داشت

منابع:
1- آشنايي با تاريخ رياضيات، Howard W.Eves ، ترجمه دكتر محمد كاظم وحيدي اصل.
2- گوشه‌هايي از رياضيات دوره اسلامي، J. L. Beggren، ترجمه دكتر محمدكاطم وحيدي اصل.
3- سرگرمي‌هاي هندسه، ياكوف پرلمان،ترجمه پرويز شهرياري
4- نه مقاله هندسه، حسن صفاري، ابوالقاسم قرباني.
5- رياضيات چيست؟ ريچارت كورانت، هربرت رابينز، ترجمه حسن صفاري.
6- بحث رياضي با دانش‌آموز، سرژلانگ، ترجمه نعمت عباديان.
7- روش تدريس رياضي در دبستان، محمود بهروش، علي‌اكبر جعفري، علي‌اصغر دانشفر.
8- كتاب معلم دوره راهنمايي، شادروان دكتر مسعود فروزان، محمدتقي ديبايي، پرويز فرهودي مقدم، صفر باهمت.

گردآوري و تنظيم:علي اکبر جعفري   
 14/5/1385