استاد علي‌اكبر جعفري  

گردآورنده: استاد علي‌اكبر جعفري

کاشی خود پوشاننده شکلی است که بتوان محیط آن را با شکل های مشابه خودش پوشاند به طوری که شکل حاصل شامل هیچ حفره ای نباشد. همانطور که می‌بینید این چینش، به صورت حلقه حلقه است. در اینجا، حلقه ی اول سبز پررنگ و حلقه ی دوم سبز کمرنگ است. بیشترین تعداد حلقه هایی را که می‌توان دور یک شکل چید، عدد چینش آن شکل می‌گویند. مثلا عدد چینش مستطیل بی نهایت است. (چرا؟) همین طور عدد چینش مربع و مثلث هم بی نهایت است. و عدد چینش دایره صفر است. می‌توانید بگویید چرا؟ اولین سوالی که می‌توان در مورد عدد چینش پرسید این است که آیا شکلی وجود دارد که عدد چینش آن بی نهایت یا صفر نباشد؟ فردی به نام Heesch یکی از اولین افرادی بود که چنین شکلی را پیدا کرد. شکلی که او پیدا کرد همان شکلی است که در بالای مقاله گذاشته شده است. مربعی که به یک مثلث متساوی الاضلاع و به یک مثلث قائم الزاویه با زاویه های 30-60-90 متصل شده است. همان طور که در شکل نشان داده شده شما می‌توانید آن را با کپی هایی از خودش دورچینی کنید. حالا سعی کنید بوسیله ی این کاشی و کپی های آن تمام صفحه را بپوشانید، بدون این که در صفحه فضای خالی باقی بماند و یا اینکه دو کاشی روی هم قرار بگیرند. متوجه خواهید شد که این کار امکان پذیر نیست. در حقیقت می‌توان ثابت کرد هیچ چینشی از این کاشی با خصوصیات فوق روی صفحه وجود ندارد. یعنی عدد چینش این شکل بینهایت نیست. در مدت کوتاهی شکل های دیگری با عددهای چینش بیشتر هم پیدا شدند: کاشی با عدد چینش 1 کاشی با عدد چینش 2 کاشی با عدد چینش 3 آیا می‌توانید ثابت کنید عدد چینش شکل بالا 3 است. اثبات بسیار ساده و جذاب است. سعی کنید خودتان این مساله را حل کنید. راهنمایی: به این نکته دقت کنید که در یک کاشی تکی از این نوع دو دندانه ی خارجی و یه دندانه ی داخلی داریم. در یک چینش از این کاشی‌ها این تفاوت دندانه‌ها در محیط چینش ظاهر خواهد شد. کاشی با عدد چینش 4 کاشی با عدد چینش 5 تا کنون هیچ کاشی ای با عدد چینش بیشتر از 5 پیدا نشده است. ساختن کاشی با شکل های مختلف و تلاش برای دست یافتن به عدد چینش های بالاتر کار جالب و جذابی است، کاشی هایی را که طراحی کرده اید را بری ما به آدرس jafari545@yahoo.com بفرستید تا به نام خود شما در اینجا و دیگر سایتهای ریاضی ثبت شوند. اگر فرض مساله را کمی تغییر دهیم، می‌توانیم به اعداد بالاتری هم برسیم. مثلا اگر فرض اینکه هیچ حفره ای در شکل وجود نداشته باشد را برداریم، ( اما هنوز باید کاشی های همسایه به هم وصل باشند). می‌توانیم کاشی با عدد چینش 4 بسازیم: پیدا شدن این کاشی‌ها و پیدا نشدن کاشی هایی با عدد چینش بیشتر از 5 تا این لحظه، این سوال را مطرح کرده است: آیا عدد چینش ماکزیمم وجود دارد؟ ( یعنی عدد n وجود دارد که اگر یک کاشی را بیش از n دور دور خودش چیدیم، بتوانیم نتیجه بگیریم عدد چینش آن کاشی بی نهایت است.) در حال حاضر هیچ جوابی برای این سوال وجود ندارد. حدس هایی وجود دارد مبنی بر اینکه این عدد وجود دارد ( در حالی که از خود عدد بی اطلاعیم). افرادی هم هستند که حدس می‌زنند عدد چینش ماکزیمم وجود ندارد. به عنوان آخرین مثالها باز هم تعدادی از این نوع چینش کاشی را تماشا کنید: